Question

6．二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A（1，0），且當(dāng)x=0和x=-2時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值相等，二次函數(shù)圖象與y軸交于C點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)M在第二象限，且在拋物線上，如果△MBC的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象具有對稱性，由當(dāng)x=0和x=-2時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值相等，可以得到對稱軸，由二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A（1，0），從而可以求得二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意可以設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，可以表示出△MBC的面積，從而可以求得△MBC的面積的最大值，進(jìn)而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A（1，0），且當(dāng)x=0和x=-2時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值相等，
∴拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{0+（-2）}{2}=-1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-\frac{2×（-1）}=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$
即二次函數(shù)的表達(dá)式是；y=-x²-2x+3；
（2）∵y=-x²-2x+3=（x+3）（-x+1），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），
設(shè)過點(diǎn)B、C的直線解析式是y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$
即過點(diǎn)B、C的直線的解析式是y=x+3，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（m，-m²-2m+3），
將x=m代入y=x+3得，y=m+3，
∴${S}_{△MBC}=\frac{[（-{m}^{2}-2m+3）-（m+3）]×[0-（-3）]}{2}$=$-\frac{3}{2}（m+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{27}{8}$，
∴當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，△MBC取得最大值，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（$-\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的最值、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．