Question

8．已知關于x的方程x²+ax+a-2=0．
（1）若該方程的一個根為2，求a的值及該方程的另一根．
（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）解：設方程的另一根為t，利用根與系數(shù)的關系得到2+t=-a，2t=a-2，然后通過解方程組可得到a和t的值；
（2）先計算判別式的值得到△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4，然后利用非負數(shù)的性質得到△＞0，則根據(jù)判別式的意義可判斷不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．

解答 （1）解：設方程的另一根為t，
根據(jù)題意得2+t=-a，2t=a-2，
所以2+t+2t=-2，解得t=-$\frac{4}{3}$，
所以a=-$\frac{2}{3}$；
（2）證明：△=a²-4（a-2）
=a²-4a+8
=（a-2）²+4，
∴△＞0，
∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．