Question

【題目】如圖，在矩形中，點是邊上一點(不與點重合)，點是延長線上一點，且，連接．

（1）求證：

（2）連接，其中

①當四邊形是菱形時,求線段與線段之間的距離；

②若點是的內心，連接，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①線段與線段之間的距離為，②．

【解析】

（1）根據已知，利用SAS即可證明；

（2）①因為四邊形是菱形，所以AE與DF的距離等于AD與EF之間的距離，即CD為所求，再利用勾股定理即可求解；

②如圖作出輔助線，根據△ABE△DCF（SAS），的取值范圍即可轉化為在△ABE中進行求解，找到E點在B、C兩點臨界處的∠AED的取值范圍，利用三角形內角和=180，即可求得．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC， ∠B=∠BCD=90，

∴∠B=∠DCF=90，

∵BE=CF，

∴△ABE△DCF（SAS）．

（2）解：①∵四邊形AEFD是菱形，

∴ AE與DF的距離等于AD與EF之間的距離，即CD的長，

∵AC=，BC=AD=6，在△ADC中，

∴，

∴線段AE與線段DF之間的距離為．

②∵△ABE△DCF，

∴△DCF的內心即為△ABE的內心，

如圖：作出∠AEB、∠ABE的角平分線BQ、EQ，

則∠BQE=∠CIF, ∠BQE即為所求，

∵∠ABE恒等于90，

∴∠ABE恒等于45，

∵當點E在點B處時，∠AEB=90，

當點E在點C處時，在Rt△ABE 中，AB=AC，知∠AEB=30，

∴所以30∠AEB，

∴15∠AEB，

∴ ∠ABE+∠AEB，

即∠ABE+∠AEB，

而∠BQE=180-∠ABE+∠AEB，

∴∠BQE，

即∠BQE．

即∠CIF．

故 90∠CIF．