Question

【題目】如圖，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸的另一個交點(diǎn)為，拋物線的對稱軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及對稱軸；

（2）若為軸上一動點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的中垂線，交拋物線于點(diǎn)，其中在的左邊．

①如圖1，若時，求的長．

②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x－4x－5，對稱軸是直線x＝2．（2）①；②P點(diǎn)有兩個:P1（2－,－4）；P2（2－,－3）

【解析】

（1）通過已知直線求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b，c的值即可得出拋物線解析式；

（2）①通過拋物線與一元二次方程的聯(lián)系，可求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，由得到PQ＝5，再由拋物線的對稱軸為x＝2，得到P點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入解析式得P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)是的中垂線即可求解；

②分∠EDB＝90°時和∠DEB＝90°時兩種情況討論，均利用等腰直角三角形性質(zhì)求M點(diǎn)左邊，根據(jù)PM平行于x軸，將M點(diǎn)總左邊代入解析式后即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解（1）直線y＝x－5與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：A(5，0)，B(0，－5)，

∵拋物線過A、B，

∴將A，B的坐標(biāo)分別代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式得：

，解得，

所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y＝x－4x－5，

對稱軸為：；

（2）①令x－4x－5＝0得，x＝5或x＝－1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，0），

∴AC＝5－（－1）＝6，

∵PQ＝AC，

∴PQ＝5，

∵拋物線的對稱軸為x＝2，

∴PM＝－2＝，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x＝，

當(dāng)x＝時，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

∵軸，

∴∥軸，

∴點(diǎn)（0，），

∵B（0，—5），

∴,

∵是的中垂線，

所以BE＝2BM＝；

②滿足條件的P點(diǎn)有兩個：P1（2－，－4）；P2（2－，－3）

證明：當(dāng)∠EDB＝90°時，如圖，

∵是BE的中垂線，

∴DE=DB，

∴∠EBD＝∠DEB＝45°，

∴MD＝MB＝2，

∴OM＝OB－BM＝5—2＝3，

∴M（0，-3）

把代入，

解得：，，

∵點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，

∴（，）；

當(dāng)∠DEB＝90°時，如圖，

∴，

∴，

∵是BE的中垂線，

∴，

∵（0，-5），

∴，

∴（0，-4），

把代入，

解得：，，

∵點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，

∴（，4），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）或（，4）．