Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個Rt△OAC，其中∠ACO=90°，∠CAO=30°，OC=3，將該三角形沿直線AC翻折得到△BAC．一動點P從點O出發(fā)，沿折線O→A→B的方向以每秒2個單位的速度向B運動，設(shè)運動時間為t（秒）．當(dāng)t=1或5時，△ACP的面積為△AOB面積的$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先求得OA=6，利用翻折得出AB=6，進(jìn)一步分兩種情況：當(dāng)P點在OA上和P點在AB上兩種情況探討，根據(jù)“△ACP的面積為△AOB面積的$\frac{1}{3}$”，列出方程求得答案即可．

解答 解：∵∠ACO=90°，∠CAO=30°，OC=3，
∴OA=6，AC=3$\sqrt{3}$，
∵沿直線AC翻折得到△BAC，
∴AB=6，
如圖，

當(dāng)P點在OA上時，AP=6-2t，PH=$\frac{1}{2}$AP=3-t，
$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（3-t）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$
解得：t=1；
如圖，

當(dāng)P點在AB上，AP=2t-6，PH=$\frac{1}{2}$AP=t-3，
$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（t-3）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$
解得：t=5；
所以當(dāng)t=1或5時，△ACP的面積為△AOB面積的$\frac{1}{3}$．
故答案為：1或5．

點評 此題考查翻折的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，利用三角形的面積建立方程是解決問題的關(guān)鍵．