Question

6．如圖，直線y=-x+5與x、y軸分別交于點A、B，拋物線y=-x²+bx+c的頂點在直線AB上，且經(jīng)過另一點（2，3）
（1）求拋物線的解析式．
（2）設拋物線與x軸的負半軸交于點C，在直線y=-x+5有一點E，使△ABO與△ACE相似，求出點E的坐標．
（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點P，使△APC的面積等于△ACE的面積？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的頂點坐標為（t，-t+5），利用頂點式得到y(tǒng)=-（x-t）²-t+5，然后把（2，3）代入求出t的值即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征確定B（0，5）、A（5，0），C（-1，0），則可判斷△AOB為等腰直角三角形，所以∠BAO=45°，然后分類討論：作CF⊥AB于F，如圖1，則△ACE為等腰直角三角形，所以△AOB∽△ACE，根據(jù)等腰直角三角形的性質得EF=$\frac{1}{2}$AC=3，于是得到E點坐標為（2，3）；過點C作CE⊥x軸交直線y=-x+5于E點，如圖2，易得E（-1，6），可證明△AOB∽△ACE；
（3）設P（x，-x²+2x+3），分類討論：當E（2，3）時，利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•6•（x²-2x-3）=9，解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$，于是得到P點坐標為（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）；當E（-1，6）時，利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•6•（x²-2x-3）=18，解得x₁=1+$\sqrt{10}$，x₂=1-$\sqrt{10}$，于是得到P點坐標為（1+$\sqrt{10}$，-6）或（1-$\sqrt{10}$，-6）．

解答 解：（1）設拋物線的頂點坐標為（t，-t+5），
則拋物線解析式為y=-（x-t）²-t+5，
把（2，3）代入得-（2-t）²-t+5=3，
整理得t²-3t+2=0，解得t₁=1，t₂=2（舍去），
所以拋物線解析式為y=-（x-1）²-1+5，即y=-x²+2x+3；
（2）當x=0時，y=-x+5=5，則B（0，5）；當y=0時，-x+5=0，解得x=5，則A（5，0），
當y=0時，-x²+2x+3，解得x₁=1，x₂=3，則C（-1，0），
∵OA=OB=5，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
作CF⊥AB于F，如圖1，則△ACE為等腰直角三角形，△AOB∽△ACE，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（5+1）=3，
∴E點坐標為（2，3），
過點C作CE⊥x軸交直線y=-x+5于E點，如圖2，當x=-1時，y=-x+5=6，則E（-1，6），
∵CE∥OB，
∴△AOB∽△ACE，
綜上所述，點E的坐標為（-1，6）或（2，3）；
（3）存在．
設P（x，-x²+2x+3），
當E（2，3）時，S_△ACE=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
∵△APC的面積等于△ACE的面積，
∴$\frac{1}{2}$•6•（x²-2x-3）=9，解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$，
此時P點坐標為（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）；
當E（-1，6）時，S_△ACE=$\frac{1}{2}$×6×6=18，
∵△APC的面積等于△ACE的面積，
∴$\frac{1}{2}$•6•（x²-2x-3）=18，解得x₁=1+$\sqrt{10}$，x₂=1-$\sqrt{10}$，
此時P點坐標為（1+$\sqrt{10}$，-6）或（1-$\sqrt{10}$，-6）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖形上點的坐標特征和求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質，記住三角形的面積公式；會靈活運用等腰直角三角形的性質；會運用分類討論思想解決數(shù)學問題．