Question

12．若以三角形的一邊為邊向形外作正三角形，以這邊所對兩個頂點為端點的線段稱這個三角形的奇異線．
如圖1，以△ABC的邊BC為邊，向外作正△BCD，則AD是△ABC的一條奇異線．
（1）如圖2，CD，AE都是△ABC的奇異線，求證：CD=AE；
（2）如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是它的奇異線，且點D在⊙O上，
①直接寫出∠ABC=120度．
②若AB=2，BC=3，求奇異線BD的長．
（3）若圖1△ABC中，∠BAC=30°，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，求△ABC的奇異線AD的長．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△DBC≌△ABE進而得出答案；
（2）①利用圓內(nèi)接四邊形對角互補得出答案；
②得出∠CBE=120°+60°=180°，進而得出答案；
（3）首先得出，∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，進而利用勾股定理得出答案．

解答 （1）證明：如圖2，由題意可得：△ABD、△BCE為正三角形，
∴AB=DB，BC=BE，
∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
即∠DBC=∠ABE；
在△DBC和△ABE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBC=∠ABE}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴CD=AE；

（2）解：①如圖3，∵∠ADC=60°，
∴∠ABC=120°，
故答案為：120；

②如圖①，

以BC為邊向外作正△BCE，則BD=AE，
∴∠CBE=120°+60°=180°，
∴A，B，E在同一直線上，
∴BD=AE=AB+BE=AB+BC=2=3=5，


（3）解：如圖②，

以AC為邊向外作正△ACE，則AD=BE，
在△ABE中，∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，
∵AB=$\sqrt{2}$，AE=AC=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AD=BE=$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．