Question

9．如圖，四邊形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 四邊形EFGH是矩形
• B． 四邊形EFGH的周長(zhǎng)是7
• C． 四邊形EFGH的面積是24
• D． 四邊形ABCD的面積是48

Answer 1

分析 利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，然后利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可判斷選項(xiàng)A是否正確；由AC=8，BD=6，且AC⊥BD，可求出四邊形EFGH和ABCD的面積，由此可判斷選項(xiàng)CD是否正確；題目給出的數(shù)據(jù)求不出四邊形EFGH的周長(zhǎng)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤．

解答 解：
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF=GH，同理EH=FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
又∵對(duì)角線AC、BD互相垂直，
∴EF與FG垂直．
∴四邊形EFGH是矩形，故選項(xiàng)A正確，符合題意；
∵AC=8，BD=6，且AC⊥BD，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=24，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；
∵四邊形EFGH是矩形，且HG=$\frac{1}{2}$AC=4，HE=$\frac{1}{2}$BD=3
∴四邊形EFGH的面積=3×4=12，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
∵EF=$\frac{1}{2}$AC=4，HE=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2（3+4）=14，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形的判斷進(jìn)行證明，是一道綜合題．