Question

13．定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），對于給定的實(shí)數(shù)a，b，作a|x_M-x_N|+b|y_M-y_N|為M，N的權(quán)重為a，b的直角距離，記為d_xy（M，N），例如：d_2，3（（1，0），（4，7））=2|1-4|+3|0-7|=27．
特別地，權(quán)重為1、1的直角距離，又稱為等權(quán)重距離，則記為d（M，N），例如：d（（1，0），（4，7））=|1-4|+|0-7|=10．
根據(jù)以上定義，回答以下問題：
（1）d（（0，0），（-3，-2））=5，d_3，2（（0，0），（-1，2））=7．
（2）P為直線y=2x+4上一動點(diǎn)，求OP的等權(quán)重距離的最小值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）P為直線y=2x+4上一動點(diǎn)，Q為以O(shè)為圓心的單位圓上的動點(diǎn)，則d（P，Q）的最小值是$\frac{12}{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，d_3，2（P，Q）的最小值是$\frac{32}{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給定的實(shí)數(shù)a，b，作a|x_M-x_N|+b|y_M-y_N|為M，N的權(quán)重為a，b的直角距離，記為d_xy（M，N），可得答案；
（2）由于P在直線y=2x+4上，所以可以先設(shè)P（x，2x+4），用x表示出OP的等權(quán)重距離，由于結(jié)果帶絕對值，所以需分類討論，從而得出最小值，最后求P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)解方程組，可得OP與等圓的交點(diǎn)Q，根據(jù)權(quán)重為1、1的直角距離，又稱為等權(quán)重距離，則記為d（M，N），可得答案，根據(jù)a|x_M-x_N|+b|y_M-y_N|為M，N的權(quán)重為a，b的直角距離，記為d_xy（M，N），可得答案．

解答 解：（1）d（（0，0），（-3，-2））=|0+3|+|0+2|=5，
d_3，2（（0，0），（-1，2））=3|0-（-1）|+2|0-2|=7，
故答案為：5，7；
（2）設(shè)P坐標(biāo)為（x，2x+4），則：
d（（0，0），（x，2x+4））=|x|+|2x+4|．
直線y=2x+4與x軸的交點(diǎn)為（-2，0）
①當(dāng)x≥0時，d（（0，0），（x，2x+4））=|x|+|2x+4|=x+2x+4=3x+4≥4；
②當(dāng)-2≤x＜0時，d（（0，0），（x，2x+4））=|x|+|2x+4|=-x+2x+4=x+4，此時2≤d（（0，0），（x，2x+4））＜4；
③當(dāng)x＜-2時，d（（0，0），（x，2x+4））=|x|+|2x+4|=-x-2x-4=-3x-4＞2．
即當(dāng)x=-2時，OP的等權(quán)重距離的最小值，此時P（-2，0）
（3）如圖2：
，
由（2）知P（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），
聯(lián)立OP、單位圓，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
即Q（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
d（P，Q）的最小值是=|-$\frac{8}{5}$-（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）|+|$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$|=$\frac{8}{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12}{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
d_3，2（P，Q）的最小值是=3|-$\frac{8}{5}$-（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）|+2|$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$|=$\frac{24}{5}$-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$+$\frac{8}{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{32}{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{32}{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了a|x_M-x_N|+b|y_M-y_N|為M，N的權(quán)重為a，b的直角距離，記為d_xy（M，N），垂線段的性質(zhì)，解方程組，確定Q、P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．