Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=-x²+bx+3與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）直線y=kx+3k經(jīng)過點B，與y軸的負半軸交于點D，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接PD，射線PD繞點P順時針旋轉與線段BD交于點E，且∠EPD=2∠PDC，∠EPD的平分線交線段BD于點H，∠BEP+∠BDP=90°
①若四邊形PHDC是平行四邊形，求點P的坐標；
②過點E作EF⊥PD，交PD于點G，交y軸于點F，已知PF=3$\sqrt{2}$，求直線PF的解析式．

Answer 1

分析 （1）把點A的坐標代入拋物線的解析式中可得結論；
（2）①如圖1，推出∠BHP=45°，求出直線BD解析式：y=-x-3，求出P點坐標等于（-1，4）；
②如圖2，作輔助線，構建矩形和等腰三角形，判斷四邊形PNDM為矩形得到MD=PN，則DQ=2PN，然后證明△DEQ≌△DEF得到DQ=DF，所以DF=2MD=2PN；再在Rt△PFN中利用勾股定理列方程得出P和F的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求直線PF的解析式．

解答 解：（1）把A（1，0）代入y=-x²+bx+3中，
-1+b+3=0，解得：b=-2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；
（2）如圖1，當y=0時，-x²-2x+3=0，
x²+2x-3=0，
（x+3）（x-1）=0，
x₁=-3，x₂=1，
∴B（-3，0），
∵四邊形PHDC是平行四邊形，
∴PH∥DC，
∴∠EHP=∠EDC，∠HPD=∠PDC，
設∠PDC=x，∠BDP=y，則∠EPH=∠HPD=x，∠EHP=∠EDC=x+y，
∴∠BEP=∠BHP+∠EPH=x+y+x=2x+y，
∵∠BEP+∠BDP=90°，
∴2x+y+y=90°，
x+y=45°，
即∠BHP=45°，
∴∠BDC=45°，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴OB=OD=3=-3k，
k=-1，
∴直線BD的解析式為：y=-x-3，
∵PH⊥x軸，
設P（x，-x²-2x+3），H（x，-x-3），
∴PH=CD=6，
∴-x²-2x+3+x+3=6，
解得：x₁=0（舍），x₂=-1，
∴P（-1，4）；
②如圖2，過D作DQ⊥y軸交PE的延長線于Q，直線PH交DQ于M，PN⊥y軸于N，
∵∠PDC=$\frac{1}{2}$∠EPD=∠DPH，
∴PM∥DN，
∵DQ⊥DN，
而PM平分∠QPD，
∴MQ=MD，
易得四邊形PNDM為矩形，
∴MD=PN，
∴DQ=2PN，
∵EF⊥PD，
∴∠BDP+∠DEG=90°，
而∠BDP+∠BEP=90°，
∴∠DEG=∠BEP=∠QED，
∵∠BDF=45°，
∴∠QDE=45°，
在△DEQ和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠QED}\\{ED=ED}\\{∠BDF=∠QDE}\end{array}\right.$，
∴△DEQ≌△DEF（ASA），
∴DQ=DF，
∴DF=2MD=2PN，
設P（x，-x²-2x+3），則PN=DM=-x，DF=-2x，F(xiàn)N=-x²-2x+3+3+2x=-x²+6，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF²=PN²+FN²，
∴$（3\sqrt{2}）^{2}$=（-x）²+（-x²+6）²，
解得：x₁=$±\sqrt{2}$，x₂=±3，
∵點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，
∴x=-$\sqrt{2}$，
∴DF=2$\sqrt{2}$，
∴P（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-3），F(xiàn)（0，2$\sqrt{2}$-3），
設PF解析式為：y=kx+b，
把P（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-3），F(xiàn)（0，2$\sqrt{2}$-3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}k+b=2\sqrt{2}-3}\\{b=2\sqrt{2}-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2\sqrt{2}}\\{b=2\sqrt{2}-3}\end{array}\right.$，
∴直線PF的解析式為：y=-2$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$-3．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和等腰三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求直線和拋物線的解析式，會求拋物線與x軸的交點坐標；理解坐標與圖形性質(zhì)，會應用三角形全等證明線段相等，并與勾股定理相結合，列方程解決問題．