Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心作半圓與邊AC相切于點(diǎn)D．則圖中陰影部分的面積為1-$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 遇切線，想直角；根據(jù)切線，可得∠ADO=90°，根據(jù)AB的長(zhǎng)，求出AO的長(zhǎng)度；解直角三角形，求出半徑OD的長(zhǎng)度；根據(jù)陰影部分的面積=2×（三角形的面積減扇形的面積），計(jì)算即可．

解答 解：如右圖，連接OD，
∵AC與⊙O相切，${S}_{陰影}=2（\frac{1}{2}×1×1-\frac{45π×{1}^{2}}{360}）=2（\frac{1}{2}-\frac{π}{8}）=1-\frac{π}{4}$
∴∠ADO=90°，
∵∠C=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠AOD=45°，
∵O是AB的中點(diǎn)，AB=$2\sqrt{2}$，
∴OA=$\sqrt{2}$，
在Rt△AOD中，∠A=45°，OA=$\sqrt{2}$，
∴OD=cos45°•OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1，
∴${S}_{陰影}=2（\frac{1}{2}×1×1-\frac{45π×{1}^{2}}{360}）=2（\frac{1}{2}-\frac{π}{8}）=1-\frac{π}{4}$．
故答案為：1-$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積、扇形的面積的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知條件求出圓的半徑是解決此題的關(guān)鍵．