Question

4．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線與BE的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)CF，若AF=DC．
（1）求證：BD=DC；
（2）當(dāng)四邊形ADCF為正方形時(shí)，線段AB與BC有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用全等三角形的判定方法得出△AFE≌△DBE（AAS），進(jìn)而得出答案；
（2）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案．

解答 （1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠BDE}\\{∠AFE=∠DBE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．

（2）AB=$\sqrt{2}$BC，
理由：∵四邊形ADCF為正方形，
∴AD=DC且AD⊥DC，
∴AD=BD=DC，
∴AB=$\sqrt{2}$BC．

點(diǎn)評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確得出△AFE≌△DBE（AAS）是解題關(guān)鍵．