Question

8．在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象與四邊形ABOC兩邊AC、AB分別交于點E、F，點E為AC的中點．
（1）如圖1，當四邊形ABOC為正方形，k=2時，BF：FA=1：1．
（2）如圖2，當四邊形ABOC為矩形（AC≠AB），k=2時，BF：FA=1：1．
（3）在（2）中，若k為不等于0的任意實數(shù)，BF：FA的值與（1）或（2）相同嗎？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）設E（2，1），得到A（2，2），求得F的縱坐標為2，得到F（1，2），根據線段中點的性質即可得到結論；
（2）設AB=2b，AC=2a，得到E（2b，a），A（2b，2a），求得E（2b，a），F(xiàn)（a，2a）根據線段中點的性質即可得到結論；
（3）設AB=2b，AC=2a，得到E（2b，a），A（2b，2a），求得E（2b，a），由于E在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，得到k=2ab，求得F的縱坐標為2a，于是得到F（a，2a），根據線段中點的性質即可得到結論．

解答 解：（1）設E（2，1），則A（2，2），
∴F的縱坐標為2，
∴2=$\frac{2}{x}$，
∴x=1，
∴F（1，2），
∴F為AB的中點，
即BF：FA=1：1，
故答案為：1：1；

（2）設AB=2b，AC=2a，
則E（2b，a），A（2b，2a），
∴E（2b，a），
∴F的縱坐標為2a，
∴2a=$\frac{2}{x}$，
∴x=a，
∴F（a，2a），
∴F為AB的中點，
即BF：FA=1：1，
故答案為：1：1；

（3）設AB=2b，AC=2a，則E（2b，a），A（2b，2a），
∴E（2b，a），
∵E在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=2ab，
∴F的縱坐標為2a，
∴2a=$\frac{2ab}{x}$，
∴x=a，
∴F（a，2a），
∴F為AB的中點，
即BF：FA=1：1，
故答案為：1：1；

點評 本題考查了反比例函數(shù)的性質，正方形的性質，矩形的性質，此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．