Question

如圖，P₁、P₂、P₃…P_n（n為正整數(shù)）分別是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）在第一象限圖象上的點(diǎn)，A₁、A₂、A₃…A_n分別為x軸上的點(diǎn)，且△P₁OA₁、△P₂A₁A₂、△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n均為等邊三角形．若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)A_n的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：作P₁B⊥x軸于B，P₂C⊥x軸于C，P₃D⊥x軸于D，由于△P₁OA₁為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OB=1，P₁B=

3

OB=

3

，則P₁的坐標(biāo)為（1，

3

），再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得k=

3

；設(shè)A₁C=t，由于△P₂A₁A₂為等邊三角形，則P₂C=

3

A₁C=

3

t，所以P₂點(diǎn)的坐標(biāo)表示為（t+2，

3

t），
根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得（t+2）•

3

t=

3

，解得t=

2

-1或t=-

2

-1（舍去），則A₁A₂=2t=2

2

-2，可得A₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

2

，0），
同理得到A₃點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

3

，0），由此規(guī)律得A_n點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

n

，0）．

解答：解：作P₁B⊥x軸于B，P₂C⊥x軸于C，P₃D⊥x軸于D，如圖，
∵△P₁OA₁為等邊三角形，A₁（2，0），
∴OB=1，P₁B=

3

OB=

3

，
∴P₁的坐標(biāo)為（1，

3

），
∴k=1×

3

=

3

，
設(shè)A₁C=t，
∵△P₂A₁A₂為等邊三角形，
∴P₂C=

3

A₁C=

3

t，
∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（t+2，

3

t），
∴（t+2）•

3

t=

3

，解得t=

2

-1或t=-

2

-1（舍去），
∴A₁A₂=2t=2

2

-2，
∴OA₂=2

2

，
∴A₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

2

，0），
同理得到A₃點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

3

，0），
∴A_n點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

n

，0）．
故答案為（2

2

，0），（2

n

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=

k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線；圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．