Question

A，B，C為⊙O上的三點，D，E分別是

AB

、

AC

的中點，連接DE，分別交AB，AC于F，G，求證：AF=AG．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：證明題

分析：先根據(jù)垂徑定理得到OD⊥AB，OE⊥AC，則∠D+∠DFB=90°，∠E+∠EGC=90°，加上∠D=∠E，∠AFG=∠DFB，∠AGF=∠EGC，易得∠AFG=∠AGF，于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到AF=AG．

解答：證明：如圖，連結(jié)OD、OE，
∵D，E分別是

AB

、

AC

的中點，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠D+∠DFB=90°，∠E+∠EGC=90°，
∵OD=OE，
∴∠D=∠E，
而∠AFG=∠DFB，∠AGF=∠EGC，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．