Question

18．在△ABC中，AB=AC，BD=AE，∠B=∠DEC，求證：AD=CD．

Answer 1

分析 作DF∥BC交AC于F，連接BF，由平行線的性質(zhì)得出∠AFD=∠ACB，∠ADF=∠ABC，再由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠AFD=∠DEC=∠ADF，證出DE=DF，∠AED=∠BDF，由SAS證明△ADE≌△BFD，得出∠A=∠DBF，證明B、C、F、D四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠DBF=∠DCF，因此∠A=∠DCF，即可得出AD=CD．

解答 證明：作DF∥BC交AC于F，連接BF，如圖所示：
則∠AFD=∠ACB，∠ADF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AFD=∠ABC，
∵∠B=∠DEC，
∴∠AFD=∠DEC=∠ADF，
∴DE=DF，∠AED=∠BDF，
在△ADE和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}&{\;}\\{∠AED=∩BDF}&{\;}\\{DE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFD（SAS），
∴∠A=∠DBF，
∵DF∥BC，
∴∠ABC+∠BDF=180°，
∴∠ACB+∠BDF=180°，
∴B、C、F、D四點(diǎn)共圓，
∴∠DBF=∠DCF，
∴∠A=∠DCF，
∴AD=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要通過作輔助線證明三角形全等和四點(diǎn)共圓才能得出結(jié)論．