Question

15．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．求證：CE=CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE=45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD．
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下列兩題：
①如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=4，則DE=10．
②如圖4，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，且 BD=2，AD=6，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明△CBE≌△CDF，從而得出CE=CF；
（2）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，根據(jù)（1）知∠BCE=∠DCF，即可證明∠ECF=∠BCD=90°，根據(jù)∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；
（3）①過C作CF⊥AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．則四邊形ABCF是正方形，設(shè)DF=x，則AD=12-x，根據(jù)（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解；
②作∠EAB=∠BAD，∠GAC=∠DAC，過B作AE的垂線，垂足是E，過C作AG的垂線，垂足是G，BE和GC相交于點(diǎn)F，BF=6-2=4，設(shè)GC=x，則CD=GC=x，F(xiàn)C=6-x，BC=2+x．在直角△BCF中利用勾股定理求得CD的長(zhǎng)，則三角形的面積即可求解．

解答 解：（1）證明：如圖1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）①過C作CF⊥AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．則四邊形ABCF是正方形．
AE=AB-BE=12-4=8，
設(shè)DF=x，則AD=12-x，
根據(jù)（2）可得：DE=BE+DF=4+x，
在直角△ADE中，AE²+AD²=DE²，則8²+（12-x）²=（4+x）²，
解得：x=6．
則DE=4+6=10．
故答案是：10；
②作∠EAB=∠BAD，∠GAC=∠DAC，過B作AE的垂線，垂足是E，過C作AG的垂線，垂足是G，
BE和GC相交于點(diǎn)F，
則四邊形AEFG是正方形，且邊長(zhǎng)=AD=6，BE=BD=2，
則BF=6-2=4，設(shè)GC=x，則CD=GC=x，F(xiàn)C=6-x，BC=2+x．
在直角△BCF中，BC2=BF2+FC2，
則（2+x）2=42+x2，
解得：x=3．
則BC=2+3=5，
則△ABC的面積是：$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×6×5=15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是注意每個(gè)題目之間的關(guān)系，正確作出輔助線．