Question

18．拋物線y=x²-2x+m與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C．
（1）求m的取值范圍；
（2）若△ABC是直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意得出方程x²-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出b²-4ac=0，即（-2）²-4×1×m＞0，解不等式即可；
（2）由題意得出△ABC是等腰三角形，若△ABC是直角三角形，則CD=$\frac{1}{2}$AB，AB=b-a，由根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=2，ab=m，得出關(guān)于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-2x+m與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴方程x²-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac＞0，
即（-2）²-4×1×m＞0，
∴m＜1；
（2）∵拋物線y=x²-2x+m與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，
∴△ABC是等腰三角形，
若△ABC是直角三角形，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為D，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為a、b（a＜b），
則CD=$\frac{1}{2}$AB，AB=b-a，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=2，ab=m，
∵拋物線y=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，
∴C（2，m-1），
∴CD=|m-1|=1-m，
∴1-m=$\frac{1}{2}$（b-a）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{{2}^{2}-4m}$，
解得：m=0，或m=1（舍去），
∴m=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)；由根與系數(shù)的關(guān)系和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出方程是解決問題的關(guān)鍵．