Question

10．如圖，四邊形ABCD中∠D=90°，以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑作⊙D，AB和BC分別切⊙D于點(diǎn)A和點(diǎn)E，若AB=4，DC=10，點(diǎn)M、N分別在線段DC、BC上，且MN=DM，則DM的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 5.5
• D． $\frac{40}{9}$

Answer 1

分析 當(dāng)MN⊥MC時(shí)，MN最小，作BG⊥DC于G，連接DE，證得BG=AD=DE，可證得△BCG≌△DCE，由勾股定理可求得DE，由MN∥DE，可得到△CMN∽△CDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)論．

解答 解：當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN最小，
作BG⊥DC于G，連接DE，
∵AB和BC分別切⊙D于點(diǎn)A和點(diǎn)E，
∴DA⊥AB，∠DEC=90°，
∵∠D=90°，
則BG=AD=DE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGC=∠DEC}\\{∠C=∠C}\\{BG=DE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE，
∴BC=DC=10，∵BE=AB=4，
∴CE=6，∴DE=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
∵DE⊥BC，MN⊥BC，
∴MN∥DE，
∴△CMN∽△CDE，
∴$\frac{CM}{CD}=\frac{MN}{DE}$，
設(shè)DM=MN=x，
則MC=10=x，
∴$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$，
解得：x=$\frac{40}{9}$，
即DM的最小值為$\frac{40}{9}$，
故選D．

點(diǎn)評 本題主要考查了切線的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的性質(zhì)和正確作出輔助線．