Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y₁=x+m與雙曲線C；y₂=$\frac{k}{x}$相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)（2，5），AC⊥y軸于C．
（1）求直線與雙曲線的解析式；
（2）直接寫出x＜2時(shí)．反比例函數(shù)值y₂的取值范圍；
（3）點(diǎn)E為B點(diǎn)下方直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，直線EF⊥AB，
分別與直線AB、雙曲線C、y軸交于E、F、G三點(diǎn)，求EF•FG的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可墳得直線AB和雙曲線C的解析式；
（2）結(jié)合圖象可知反比例函數(shù)圖象應(yīng)該在A點(diǎn)的左側(cè)，則可求得其函數(shù)值的取值范圍；
（3）過(guò)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)F作FP⊥EM于點(diǎn)P，由AB的解析式可求得∠EGM=∠EFP=∠MEG=45°，可設(shè)E（t，t+3），F(xiàn)（s，$\frac{10}{s}$），利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到t、s之間的關(guān)系，再利用s表示出EF•FG，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵A（2，5）為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴5=2+m，5=$\frac{k}{2}$，解得m=3，k=10，
∴直線解析式為y=x+3，雙曲線解析式為y=$\frac{10}{x}$；

（2）∵A（2，5），
∴當(dāng)x＜2時(shí)，即反比例函數(shù)圖象在A點(diǎn)的左側(cè)，
∴反比例函數(shù)值y₂的取值范圍為y₂＜0或y₂＞5；

（3）如圖，過(guò)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)F作FP⊥EM于點(diǎn)P，

∵直線AB解析式為y=x+3，EF⊥AB，
∴∠EGM=∠EFP=∠MEG=45°，
∴EP=PF，F(xiàn)N=GN，
設(shè)E（t，t+3），F(xiàn)（s，$\frac{10}{s}$），
∴s-t=t+3-$\frac{10}{s}$，解得t=$\frac{s}{2}$+$\frac{5}{s}$-$\frac{3}{2}$，
∵EF=$\sqrt{2}$PE=$\sqrt{2}$（s-t），F(xiàn)G=$\sqrt{2}$（-s），
∴EF•FG=-2s（s-t）=-2s（s-$\frac{s}{2}$-$\frac{5}{s}$+$\frac{3}{2}$）=-s²-3s+10=-（s+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{49}{4}$，
由直線AB與雙曲線解析式可求得B（-5，-2），
∵點(diǎn)E在點(diǎn)B下方，
∴t＜-5，即$\frac{s}{2}$+$\frac{5}{s}$-$\frac{3}{2}$＜-5，解得s＞-2，
∴當(dāng)s=-$\frac{3}{2}$時(shí)，EF•FG有最大值$\frac{49}{4}$，
∴EF•FG的最大值為$\frac{49}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，在（3）中用E、F的坐標(biāo)表示出EF•FG，得到一個(gè)二次函數(shù)，是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．