Question

13．如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B，C分別在AD，AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長DB交AF，CF于點(diǎn)N，H．
①求證：BD⊥CF；
②當(dāng)AB=2，AD=3$\sqrt{2}$時，求線段AN的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD，證明結(jié)論；
（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可；
②作BM⊥AD于M，在Rt△AMB中，由∠BAM=45°，AB=2，推出AM=BM=$\sqrt{2}$，DM=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，由BM∥AN，推出$\frac{BM}{AN}$=$\frac{DM}{DA}$即可解決問題；

解答 解：（1）BD=CF．
理由如下：如圖2中，由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，

在△CAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CAF=∠BAD}\\{FA=DA}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAD，
∴BD=CF；

（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，
∴∠CFA=∠BDA，
∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NDA=90°，
∴∠CFA+∠FNH=90°，
∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②如圖3中，作BM⊥AD于M，

在Rt△AMB中，∵∠BAM=45°，AB=2，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，DM=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
BM∥AN，
∴$\frac{BM}{AN}$=$\frac{DM}{DA}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{AN}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
∴AN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)角的定義和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．