Question

3．操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q，設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．
探究：
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察到的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)x的值；如果不可能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可證明△QNP≌△PMB，可證明PQ=PB；
（2）設(shè)AP=x，結(jié)合（1）的結(jié)論可分別表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面積，從而表示出四邊形PBCQ的面積，從而得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；
（3）△PCQ可以成為等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，利用勾股定理可得到x的方程；當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上時(shí)，由PQ=CQ，可得到x的方程；當(dāng)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，不滿足條件；從而可求得滿足條件的x的值，

解答 （1）證明：過點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，如圖1，

則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，
∴NP=NC=MB．
∵∠BPQ=90°，
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
在△QNP和△PMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QPN=∠PBM}\\{NP=MB}\\{∠QNP=∠PMB}\end{array}\right.$，
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB；
（2）解：由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ=MP．
設(shè)AP=x，則AM=MP=NQ=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BM=PN=CN=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1-$\sqrt{2}$x
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•BM=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，
S_△PCQ=$\frac{1}{2}$CQ•PN=$\frac{1}{2}$×（1-$\sqrt{2}$x）（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{1}{2}$x²，
∴S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+1，
∵當(dāng)Q點(diǎn)到點(diǎn)C時(shí)則P點(diǎn)到達(dá)AC的中點(diǎn)，
∴AP的最大值為$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+1（0≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$）． 
（3）△PCQ可能成為等腰三角形．
①當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC上，
由PQ²=CQ²得：（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（1-$\sqrt{2}$x）²
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{2}$（舍去）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長線上時(shí)，如圖2，

由PC=CQ得：$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$x-1，解得x=1．
③當(dāng)點(diǎn)Q與C點(diǎn)重合，△PCQ不存在．
綜上所述，x=0或1時(shí)，△PCQ為等腰三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)．在（1）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（2）中用x分別表示出△PBC和△PCQ的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用分類討論思想分別得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．