Question

3．在平面直角坐標系中，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與直線y=k₁x和直線y=k₂x分別交于點A，B和點C，D，且k₁k₂≠0，k₁≠k₂．
（1）若點A，B的坐標分別為（1，a²），（-1，4-4a），求a，k的值．
（2）如圖1，已知k=8，過點A，C分別作AE，CF垂直于y軸和x軸，垂足分別為點E，F(xiàn)，若EA，F(xiàn)C的延長線交于點M（4，5），求△OAC的面積．
（3）如圖2，若順次連接A，C，B，D四點得矩形ACBD．
①求證：k₁k₂=1．
②當矩形ACBD的面積是16，且點A的縱坐標為4時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B關于原點對稱，列出方程即可解決問題；
（2）根據(jù)S_△OAC=S_矩形OHMG-S_△AOG-S_△OCH-S_△AMC計算即可解決問題；
（3））①如圖2中，作AG⊥y軸于G，CH⊥x軸于H．易知A、C關于直線y=x對稱，推出△AOG≌△COH，推出AG=CH．OG=OH，設A（m，n）zeBra（n，m），推出直線OA的解析式為y=$\frac{n}{m}$x，直線OC的解析式為y=$\frac{m}{n}$x，由此即可解決問題；
②如圖2中，作AN⊥x軸于N，交CD于K．首先證明S_△AOC=S_梯形ANCH，由此列出方程即可解決問題；

解答 解：（1）∵點A，B的坐標分別為（1，a²），（-1，4-4a），
∴A、B關于原點對稱，
∴a²-4a+4=0，
∴a=2，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$中，可得k=4，

（2）如圖1中，設MA⊥y軸于G，MC⊥x軸于H，連接AC．

∵k=8，M（4，5），∴A（$\frac{8}{5}$，5），C（4，2），
∴AG=$\frac{8}{5}$，AM=$\frac{12}{5}$，CH=2，CM=3，
∴S_△OAC=S_矩形OHMG-S_△AOG-S_△OCH-S_△AMC=20-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{8}{5}$-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$•$\frac{12}{5}$•3=$\frac{42}{5}$．

（3）①如圖2中，作AG⊥y軸于G，CH⊥x軸于H．

∵四邊形ADBC是矩形，
∴OA=OC，
∵A、C在y=$\frac{k}{x}$上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$是關于直線y=x對稱的，
∴A、C關于直線y=x對稱，易知△AOG≌△COH，
∴AG=CH．OG=OH，
設A（m，n）zeBra（n，m），
∴直線OA的解析式為y=$\frac{n}{m}$x，直線OC的解析式為y=$\frac{m}{n}$x，
∴k₁=$\frac{n}{m}$，k₂=$\frac{m}{n}$，
∴k₁•k₂=1．
②如圖2中，作AN⊥x軸于N，交CD于K．
∵S_△AON=S_△COH，
∴S_△AOK=S_{四邊形CHNK}，
∴S_△AOC=S_梯形ANCH，
∵A（m，4），C（4，m），
∴$\frac{1}{2}$•（4+m）•（4-m）=$\frac{1}{4}$×16，
解得m=2$\sqrt{2}$或-2$\sqrt{2}$（舍棄），
∴A（2$\sqrt{2}$，4），
∴k=8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、軸對稱、中心對稱的性質、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分割法求面積，學會用轉化的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．