Question

1．已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，如果b²-4ac≥0，那么它的兩個實數(shù)根是x₁=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$．
（1）計算：x₁+x₂、x₁x₂的值（用含a、b、c的代數(shù)式表示）；
（2）設方程2x²-4x-1=0的兩個根分別為x₁、x₂，根據(jù)（1）所求的結果，不解方程直接寫出x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$．
（3）如果方程2x²-4x+c=0的一根是2+$\sqrt{3}$，請你利用（1）中根與系數(shù)的關系求出方程的另一根及c的值．

Answer 1

分析 （1）把x₁=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$代入x₁+x₂、x₁x₂即可得到結果；
（2）根據(jù)（1）中的結果代入即可得到結論；
（3）根據(jù)（1）中的結果，把系數(shù)代入即可得到結論．

解答 解：（1）x₁+x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$+$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=-$\frac{a}$，
x₁x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（-b）^{2}-（\sqrt{^{2}-4ac）^{2}}}{4{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}$；

（2）∵方程2x²-4x-1=0的兩個根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{-4}{2}$=2，x₁•x₂=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$；
故答案為：2，-$\frac{1}{2}$；

（3）方程的另一根為x₁，
∴x₁+2+$\sqrt{3}$=2，x₁（2+$\sqrt{3}$）=$\frac{c}{2}$，
解得：x₁=$\sqrt{3}$，c=4$\sqrt{3}$+6．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．