Question

8．如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD紙沿對(duì)角線折疊，設(shè)重疊部分為△EBD，那么，有下列說(shuō)法：
①△EBD是等腰三角形，EB=ED；
②折疊后∠ABE和∠CBD和一定相等；
③折疊后得到的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；
④若AB=4，AD=8，則AE=3．
其中正確的是①③④．（請(qǐng)寫(xiě)上正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以得出DC=DC′，BC′=BC，∠DBC=∠DBC′，再由矩形的性質(zhì)就可以得出∠EBD=∠EDB，就可以得出BE=DE，得出△EBD是等腰三角形，進(jìn)而可以由AAS證明△EBA≌△EDC，可得BE=DE，根據(jù)勾股定理可求AE，就可以得出折疊后的圖形關(guān)于BD的中垂線對(duì)稱(chēng)，從而得出結(jié)論．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵△DBC與△DBC′關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，
∴△DBC≌△DBC′，
∴DC=DC′，BC′=BC，∠DBC=∠DBC′，∠C=∠C′．
∴AB=C′D，∠A=∠C′．∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
∴△EBD是等腰三角形．故①正確．
在△AEB和△C′ED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C′}\\{∠AEB=∠C′ED}\\{AB=C′D}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△C′ED（AAS），
∴BE=DE，
在Rt△BAE中，AE²+AB²=BE²，即AE²+4²=（8-AE）²，
解得AE=3，．故④正確，
∴折疊后得到的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故③正確．
∵∠DBC=∠DBC′，
∴∠ABE和∠CBD不一定相等．故②錯(cuò)誤．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．