Question

16．如下列各圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、BC、CA為邊向外作半圓、正三角形、等腰直角三角形等，面積分別為S₁、S₂、S₃．

（1）在圖1中，S₁、S₂、S₃有什么關(guān)系？寫(xiě)出關(guān)系式：S₂+S₃=S₁．
（2）探索圖2、圖3、圖4中S₁、S₂、S₃是否有同樣的規(guī)律？選一個(gè)作出證明．
（3）在圖4中，若BC=4，AC=5，求S₁+S₂+S₃．

Answer 1

分析 （1）由扇形的面積公式可知S₁=$\frac{1}{8}$π•AB²，S₂=$\frac{1}{8}$π•BC²，S₃=$\frac{1}{8}$π•AC²，在Rt△ABC中，由勾股定理得BC²+AC²=AB²，即S₂+S₃=S₁；
（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解．

解答 解：（1）∵S₁=$\frac{1}{8}$π•AB²，S₂=$\frac{1}{8}$π•BC²，S₃=$\frac{1}{8}$π•AC²，
根據(jù)勾股定理可知AB²=BC²+AC²，
∴S₂+S₃=S₁；

（2）圖2、圖3、圖4中S₁、S₂、S₃有同樣的規(guī)律：S₂+S₃=S₁．
如圖3，∵S₁=$\frac{1}{2}$AB²，S₂=$\frac{1}{2}$BC²，S₃=$\frac{1}{2}$AC²，
根據(jù)勾股定理可知AB²=BC²+AC²，
∴S₂+S₃=S₁；

（3）如圖4，∵三個(gè)三角形都是正三角形，
∴S₂=$\frac{1}{2}$×4×（4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=4$\sqrt{3}$，
S₃=$\frac{1}{2}$×5×（5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$，
∴S₁=4$\sqrt{3}$+$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$=$\frac{41}{4}$$\sqrt{3}$，
∴S₁+S₂+S₃=$\frac{41}{4}$$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$+$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$=$\frac{41}{2}$$\sqrt{3}$．
故答案為：S₂+S₃=S₁．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答．