Question

7．某公司經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該公司生產(chǎn)的某商品在第x天的售價(jià)（1≤x≤100）為（x+30）元/件，而該商品每天的銷售滿足關(guān)系式y(tǒng)=220-2x，如果該商品第15天的售價(jià)按8折出售，仍然可以獲得20%的利潤．
（1）求該公司生產(chǎn)每件商品的成本為多少元；
（2）問銷售該商品第幾天時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該公司每天需要控制人工、水電和房租支出共計(jì)a元，若考慮這一因素后公司對最大利潤要控制在4000元至4500元之間（包含4000和4500），且保證至少有90天的盈利，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)該公司生產(chǎn)每件商品的成本為a元，根據(jù)：實(shí)際售價(jià)-成本=利潤，列出方程，解方程可得；
（2）根據(jù)：每天利潤=單件利潤×每天銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，配方成頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最值情況；
（3）根據(jù)（2）中每天利潤減去每天開支a元列出函數(shù)關(guān)系式P=-2（x-55）²+6050-a，根據(jù)最大利潤要控制在4000元至4500元之間可得關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍，再由至少有90天的盈利可知-2x²+220x-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥90，根據(jù)韋達(dá)定理可得關(guān)于a的不等式，求得a的范圍，綜合上述情況確定a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)該公司生產(chǎn)每件商品的成本為a元，根據(jù)題意，
得：0.8×（15+30）-a=0.2a，
解得：a=30，
故該公司生產(chǎn)每件商品的成本為30元；

（2）設(shè)第x天的銷售利潤為W，
則：W=（x+30-30）（220-2x）=-2x²+220x=-2（x-55）²+6050，
∴當(dāng)x=55時(shí)，W取得最大值，最大值為6050元，
故銷售該商品第55天時(shí)，每天的利潤最大，最大利潤是6050元；

（3）記公司每天控制人工、水電和房租支出共計(jì)a元后利潤為P，
則P=-2（x-55）²+6050-a，
根據(jù)題意：4000≤6050-a≤4500，
解得：1550≤a≤2050，
又∵至少有90天的盈利，
∴-2x²+220x-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥90，
∴（x₁-x₂）²≥90²，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂≥90²，
∵x₁+x₂=110，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，
∴110²-4×$\frac{a}{2}$≥90²，
解得：a≤2000，
綜上，1550≤a≤2000．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，明確不等關(guān)系并據(jù)此列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題基礎(chǔ)，根據(jù)題意挖掘出不等關(guān)系求a的范圍是關(guān)鍵．