Question

16．先計算下列各式：$\sqrt{1}$=1，$\sqrt{1+3}$=2，$\sqrt{1+3+5}$=3，$\sqrt{1+3+5+7}$=4，$\sqrt{1+3+5+7+9}$=5．
（1）通過觀察并歸納，請寫出：$\sqrt{1+3+5+…+（2n-1）}$=n．
（2）計算：$\sqrt{2+6+10+14+…+102}$=26$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）先計算出各二次根式的值，根據(jù)計算結(jié)果找出其中的規(guī)律，然后用含n的式子表示；
（2）$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2+6}$=$\sqrt{2+4×2-2}$=2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2+6+10}$=$\sqrt{2+6+4×3-2}$=3$\sqrt{2}$，然后找出其中的規(guī)律進行計算即可．

解答 解：（1）$\sqrt{1}$=1；
$\sqrt{1+3}$=$\sqrt{1+（2×2-1）}$=2
$\sqrt{1+3+5}$=$\sqrt{1+3+（2×3-1）}$=3，
$\sqrt{1+3+5+7}$=$\sqrt{1+3+5+（2×4-1）}$=4，
$\sqrt{1+3+5+7+9}$=$\sqrt{1+3+5+7+（2×5-1）}$=5，
…
觀察上述算式可知：$\sqrt{1+2+5+…+（2n-1）}$=n．
（2）$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
$\sqrt{2+6}$=$\sqrt{2+4×2-2}$=2$\sqrt{2}$，
$\sqrt{2+6+10}$=$\sqrt{2+6+4×3-2}$=3$\sqrt{2}$，
…
$\sqrt{2+6+10+14+…+102}$=$\sqrt{2+6+10+14+…+2×26-2}$=26$\sqrt{2}$．
故答案為：3；4；5；（1）n；（2）26$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是探索數(shù)字的變化規(guī)律，找出其中蘊含的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．