Question

1．如圖1，在平面直角坐標系中，∠BAC=90°，AB=AC，已知點A點的坐標是（m，n），且m，n滿足等式$\sqrt{2m+n-13}$+|m-n+1|=0．
（1）求點A的坐標；
（2）若B點的坐標為（6，0），求點C的坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接OA，作AD⊥AO，且AD=AO，連接CD，已知點E（3，0），線段AE與CD有何數(shù)量關系與位置關系？寫出你的結(jié)論并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出$\left\{\begin{array}{l}{2m+n-13=0}\\{m-n+1=0}\end{array}\right.$，解方程組即可求得A的坐標；
（2）作AM⊥x軸于M，CN⊥AM于N，證得△AMB≌△CAN，從而求得AM=CN=5，AN=BM=2，MN=AM-AN=5-2=3，即可求得C的坐標；
（3）作AM⊥x軸于M，DG⊥AM于G，同理證得D（9，1），證得CD∥x軸，由A（4，5），E（3，0），根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AE和直線CD的解析式，根據(jù)斜率即可判定兩直線垂直，根據(jù)勾股定理求得CD和AE的長即可判斷它們的數(shù)量關系．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2m+n-13}$+|m-n+1|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n-13=0}\\{m-n+1=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴點A的坐標（4，5）；

（2）如圖1，作AM⊥x軸于M，CN⊥AM于N，
∵點A的坐標（4，5），B（6，0），
∴AM=5，BM=6-4=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠MAB+∠CAN=90°，
∵∠MAB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△AMB和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CAN}\\{∠AMB=∠CNA=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△CAN（AAS），
∴AM=CN=5，AN=BM=2，
∴MN=AM-AN=5-2=3，
∴C（-1，3）；
（3）如圖2，作AM⊥x軸于M，DG⊥AM于G，
同理證得D（9，1），
∵C（-1，3），
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{14}{5}$，CD=$\sqrt{（9+1）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{26}$，
∵A（4，5），E（3，0），
∴直線AE的解析式為y=5x-15，AE=$\sqrt{（4-3）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∵-$\frac{1}{5}$×5=-1，
∴AE⊥CD，CD=2AE，
∴AE垂直平分CD，且CD=2AE．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線的解析式，勾股定理的應用，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關鍵．