Question

求方程

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

+

1

t2

=1的所有正整數(shù)解x，y，z，t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：非一次不定方程（組）

專題：

分析：由x，y，z，t是正整數(shù)可得x＞1，y＞1，z＞1，t＞1，進(jìn)而得到x≥2，y≥2，z≥2，t≥2，由此可得

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

+

1

t2

≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=t=2時(shí)取等號(hào)，由此就可得到原方程的解．

解答：解：∵x，y，z，t是正整數(shù)，
∴

1

x2

＜1，

1

y2

＜1，

1

z2

＜1，

1

t2

＜1，
∴x＞1，y＞1，z＞1，t＞1，
∴x≥2，y≥2，z≥2，t≥2，
∴

1

x2

≤

1

4

，

1

y2

≤

1

4

，

1

z2

≤

1

4

，

1

t2

≤

1

4

．
∴

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

+

1

t2

≤1，當(dāng)且僅當(dāng)

1

x2

=

1

4

，

1

y2

=

1

4

，

1

z2

=

1

4

，

1

t2

=

1

4

時(shí)取等號(hào)．
即x=y=z=t=2時(shí)，

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

+

1

t2

=1．
∴原方程的正整數(shù)解為x=y=z=t=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是解非一次不定方程，用到了不等式的性質(zhì)，而采用放縮法是解決本題的關(guān)鍵．