Question

12．如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1的拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）已知a=1，C為拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)．
①求拋物線(xiàn)的解析式及C點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，且S_△POC=4S_△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③設(shè)點(diǎn)Q是線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，求線(xiàn)段DQ長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸以及點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，
（2）①結(jié)合a=1，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸以及點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可得出a、b、c的值，從而得出拋物線(xiàn)的解析式，再令x=0求出y值即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△POC=4S_△BOC，即可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式中即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AC的解析式，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可找出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而找出線(xiàn)段DQ關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3+2×[-1-（-3）]，0），即（1，0）．
（2）①由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{-\frac{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²+2x-3．
令y=x²+2x-3中x=0，則y=-3，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）．
②當(dāng)△POC的OC邊上的高為4時(shí)滿(mǎn)足S_△POC=4S_△BOC，
此時(shí)x=±4，
當(dāng)x=4時(shí)，y=4²+2×4-3=21；
當(dāng)x=-4時(shí)，y=（-4）²+2×（-4）-3=5．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）．
③依照題意，畫(huà)出圖形，如圖所示．
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=mx+n，
將點(diǎn)A（-3，0）、C（0，-3）代入y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3m+n}\\{-3=n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=-x-3．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，-t-3）（-3＜t＜0），則D（t，t²+2t-3），
則DQ=（-t-3）-（t²+2t-3）=-t²-3t=-$（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，線(xiàn)段DQ長(zhǎng)度最大，最大值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）①利用待定系數(shù)法結(jié)合a=1求出二次函數(shù)解析式；②根據(jù)兩三角形的面積間的關(guān)系找出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；③根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．