Question

11．如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC、FG，則下列結(jié)論：①AE=BD；②AO=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC；⑤BO=OC+AO，其中正確的結(jié)論有（　�。﹤�(gè)．

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出BC=AC、CD=CE、∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得①成立；②
由全等三角形的對應(yīng)角相等即可得到∠CBF=∠CAG，根據(jù)ASA證得△BCF≌△ACG，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出BF=AG，即②不成立；③同理證得CF=CG，得到△CFG是等邊三角形，易得③成立；④過點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，CN⊥BD于點(diǎn)N，由全等三角形的對應(yīng)角相等即可得到∠CDN=∠CEM，根據(jù)AAS證得△CDN≌△CEM，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出CM=CN，結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可得出OC為∠BOE的角平分線，易得④成立；⑤在AE上尋找點(diǎn)P，連接CP使得CP=CO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出EM=DN，再由邊與邊之間的關(guān)系利用SSS即可證出△CMG≌△CNF，通過角的計(jì)算即可得出∠CPE=∠COD，再結(jié)合∠CDO=∠CEP利用AAS即可證出△COD≌△CPE，從而得出OD=PE，由邊與邊之間的關(guān)系即可找出BO=AO+OC，即⑤成立．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，結(jié)論①成立；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBF=∠CAG．
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACG=180°-∠ACB-∠DCE=60°．
在△BCF和△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAG}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACG=60°}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴BF=AG，結(jié)論②不成立；
③∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．
∵∠FCG=60°，
∴△CFG為等邊三角形，
∴∠CFG=60°．
∵∠BCF=60，
∴∠BCF=∠CFG，
∴FG∥BE，結(jié)論③成立；
④過點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，CN⊥BD于點(diǎn)N，如圖所示．
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠CEG}\\{∠CND=∠CGE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM=CN，
∴OC為∠BOE的角平分線，
∴∠BOC=∠EOC，結(jié)論④成立；
⑤在AE上尋找點(diǎn)P，連接CP使得CP=CO，如圖2所示．
∵△CDN≌△CEM，
∴EM=DN，
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{CG=CF}\\{MG=NF}\end{array}\right.$，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°-∠MCN-90°-90°=120°．
∵∠BOC=∠EOC，
∴∠BOC=∠EOC=$\frac{1}{2}$∠MON=60°，
∴∠COD=180°-∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP為等邊三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°-∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDO=∠CEP}\\{∠COD=∠CPE}\\{CO=CP}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD-OD=AE-PE=AO+OP=AO+OC，結(jié)論⑤成立．
綜上所述：正確的結(jié)論有①③④⑤．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)逐一判定五條結(jié)論的成立與否是解題的關(guān)鍵．