Question

6．如圖，△ABC和△BED都是等邊三角形，點(diǎn)D，E都在△ABC的外部．

（1）DA與EC會(huì)相等嗎？為什么？
（2）當(dāng)DA⊥BC時(shí)，點(diǎn)D一定是△EBC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，利用備用圖畫出不是情況下的一個(gè)圖形．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△BED都是等邊三角形，得到AB=BC，BD=BE，進(jìn)而得到∠ABD=∠CBE，推出△ABD≌△CBE，從而得到結(jié)論．
（2）由等腰三角形的性質(zhì)：三線合一定理，推出DB=DC，DE=DC，從而得到DE=DB=DC，于是推出結(jié)論．

解答 解：（1）相等；
證明：∵△ABC和△BED都是等邊三角形，
∴AB=BC，BD=BE，
∠ABD=60°+∠CBD，∠CBE=60°+∠CBD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE，
∴DA=EC；
（2）點(diǎn)D一定是△EBC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)；
證明：∵△ABC是等邊三角形，
AD⊥BC，
∴AD平分BC，
∴DB=CD，
∵△BED是等邊三角形，
∴DE=DB，
∴DE=DB=DC，
∴點(diǎn)D一定是△EBC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定線段垂直平分線的判定，巧妙的利用等邊三角形的性質(zhì)：三個(gè)角都是60°，三條邊都相等，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．