Question

3．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在AO，BO，CO，DO上．
（1）如果AE=$\frac{1}{2}$AO，BF=$\frac{1}{2}$BO，CG=$\frac{1}{2}$CO，DH=$\frac{1}{2}$DO，那么四邊形EFGH是平行四邊形嗎？證明你的結(jié)論；
（2）如果AE=$\frac{1}{3}$AO，BF=$\frac{1}{3}$BO，CG=$\frac{1}{3}$CO，DH=$\frac{1}{3}$DO，那么四邊形EFGH是平行四邊形嗎？證明你的結(jié)論；
（3）如果AE=$\frac{1}{n}$AO，BF=$\frac{1}{n}$BO，CG=$\frac{1}{n}$CO，DH=$\frac{1}{n}$DO，其中n為大于1的正整數(shù)，那么上述結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，再由AE=$\frac{1}{2}$AO，BF=$\frac{1}{2}$BO，CG=$\frac{1}{2}$CO，DH=$\frac{1}{2}$DO，得出OE=OG，OF=OH，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出OE=OG，OF=OH，即可得出結(jié)論；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出OE=OG，OF=OH，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=$\frac{1}{2}$AO，BF=$\frac{1}{2}$BO，CG=$\frac{1}{2}$CO，DH=$\frac{1}{2}$DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=$\frac{1}{3}$AO，BF=$\frac{1}{3}$BO，CG=$\frac{1}{3}$CO，DH=$\frac{1}{3}$DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（3）上述結(jié)論成立；理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=$\frac{1}{n}$AO，BF=$\frac{1}{n}$BO，CG=$\frac{1}{n}$CO，DH=$\frac{1}{n}$DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定方法是解決問題的關(guān)鍵．