Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，C、P是弧AB上兩點，AB=13，AC=5，

（1）如圖（1），若點P是弧AB的中點，求PB的長；
（2）如圖（2），過點P作PD⊥BC于點E，交AB于點D，若$\frac{DE}{EP}$=$\frac{5}{4}$，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中點，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）延長AC，PB交于點G，根據(jù)PD⊥BC，AC⊥BC．得到AC∥PD，得到比例式，求得CG=4，根據(jù)勾股定理求出BC的長度，得到GB的長度通過三角形相似得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖（1）所示，連接PB，
∵AB是⊙O的直徑且P是$\widehat{AB}$的中點，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PB=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{13}{\sqrt{2}}$=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$；

（2）如圖（2）所示，延長AC，PB交于點G，
∵PD⊥BC，AC⊥BC．
∴AC∥PD，
∴$\frac{PE}{GC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{DE}{AC}$，
∴$\frac{DE}{EP}$=$\frac{AC}{GC}$=$\frac{5}{4}$，
∴CG=4，
∵AB=13，AC=5，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{-AC}^{2}}$=12，
∴$GB=4\sqrt{10}$，
∵∠GCB=ABP，G=∠G，
∴△GCP∽△ABG，
∴$\frac{GC}{GB}$=$\frac{CP}{AB}$，
∴CP=$\frac{13\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．