Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對(duì)角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點(diǎn)，連接BE．
（1）求證：四邊形BCDE為菱形；
（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由DE=BC，DE∥BC，推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE=DE即可解決問題；
（2）在Rt△ACD中只要證明∠ADC=60°，AD=2即可解決問題；

解答 （1）證明：∵AD=2BC，E為AD的中點(diǎn)，
∴DE=BC，
∵AD∥BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∵∠ABD=90°，AE=DE，
∴BE=DE，
∴四邊形BCDE是菱形．

（2）解：連接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，
∴AB=BC=1，
∵AD=2BC=2，
∴sin∠ADB=$\frac{1}{2}$，
∴∠ADB=30°，
∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ACD中，∵AD=2，
∴CD=1，AC=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，屬于中考�？碱}型．