Question

11．如圖，BA⊥MN，BA=2$\sqrt{3}$，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過點C作CD⊥MN，垂足為D，在P點運動過程中，當AP=2或6時，△ABP和△CDP相似．

Answer 1

分析 當△BAP∽△CDP時，易得∠BPA=60°，AP=$\frac{BA}{tan60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，當△BAP∽△PDC時，易得∠BPA=30°，AP=$\frac{BA}{tan30°}$=6．

解答 解：如圖1，當△BAP∽△CDP時，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=$\frac{BA}{tan60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2
如圖2，當△BAP∽△PDC時，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=$\frac{BA}{tan30°}$=6．
所以AP=2或AP=6時，△ABP和△CDP相似；
故答案是：2或6．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質和銳角三角函數關系等知識，熟練利用相似三角形的性質得出線段之間的關系是解題關鍵．