Question

11．關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），給出以下說法：
（1）若△=b²-4ac＞0，則方程cx²+bx+a=0一定有兩個不相等的實(shí)根
（2）若x₀是方程的一個根，△=（2ax₀+b）²
（3）若b²＞5ac，在方程一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
（4）若b=2a+3c，則方程必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
其中，正確說法的序號是（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根，則△=b²-4ac＞0，當(dāng)c=0時，cx²+bx+a=0不成立；
（2）用求根公式表示x₀．
（3）根據(jù)b²＞5ac可以得到b²-4ac＞0，從而證得方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（4）把b=2a+3c代入b²-4ac計(jì)算得到（2a+3b）²-4ac=4a²+8ac+9b²=4（a+c）²+5c²，而a≠0，則有b²-4ac＞0，于是可對（4）進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）當(dāng)c=0時不成立；
（2）若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，可得x₀=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，把x₀的值代入（2ax₀+b）²，可得b²-4ac=（2ax₀+b）²；
（3）∵b²＞5ac，∴b²-5ac＞0，∴b²-4ac＞0，∴方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（4）當(dāng)2a+3c=b，則b²-4ac=（2a+3b）²-4ac=4a²+8ac+9b²=4（a+c）²+5c²，而a≠0，于是b²-4ac＞0，則方程必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
正確的是（2）、（3）、（4）．
故答案為：（2）（3）（4）．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．