Question

已知在△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC，求證：△ABC為直角三角形．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作出圖形，作∠ABC的平分線BD交AC于D，過點D作DE⊥AB于E，然后求出∠ABD=∠CBD=∠A，根據(jù)等角對等邊可得AD=BD，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE=BE，再求出BE=BC，然后利用“邊角邊”證明△BCD和△BED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠C=∠BED=90°．

解答：證明：如圖，作∠ABC的平分線BD交AC于D，過點D作DE⊥AB于E，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠B=2∠A，
∴∠ABD=∠CBD=∠A，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE=

1

2

AB，
又∵AB=2BC，
∴BE=BC，
在△BCD和△BED中，

BE=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD

，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴∠C=∠BED=90°，
∴△ABC為直角三角形．

點評：本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．