Question

20．點(diǎn)P是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，EF垂直平分BP分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GP⊥EP交AD于G，連接BG交EF于H，有下列結(jié)論：①BP=EF；②以BA為半徑的⊙B與GP相切；③∠FHG=45°；④若G為AD的中點(diǎn)，則DP=2CP．其中正確的結(jié)論是①②③④．（填所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 先作NF⊥BC于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)證明△BCP≌△FNE就可以得出BP=EF，作BM⊥PG于M，GP⊥EP，通過證明兩次三角形全等就可以得出∠PBG=45°，從而求出∠FHG=45°，由切線的判定定理就可以求出以BA為半徑⊙B與GP相切，當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AG=GD=x，CP=y，則GM=x，PM=y，PD=2x-y，運(yùn)用勾股定理就可以求出DP與CP的關(guān)系．

解答 解：作NF⊥BC于N，
∴∠FNE=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，AB=BC=CD=DA．
∴NF=AB
∴NF=CB．
∵EF垂直平分BP，
∴∠2=∠3，∠2+∠NEF=90°．
∵∠1+∠NEF=90°，
∴∠1=∠2，
在△BCP和△FNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{BC=FN}\\{∠C=∠FNE}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△FNE（ASA），
∴BP=EF；故①正確；
作BM⊥PG于M，GP⊥EP，
∴BM∥EP，∠BMP=∠BMG=90°
∴∠3=∠5，∠BMP=∠C．
∴∠2=∠5
在△BPC和△BPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BMP}\\{∠2=∠5}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△BPM（AAS），
∴BC=AB=BM，
∴以BA為半徑⊙B與GP相切．故②正確；
在Rt△BMG和Rt△BAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BG}\\{BM=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMG≌Rt△BAG（HL），
∴∠6=∠7．
∵∠2+∠5+∠6+∠7=90°，
∴2∠5+2∠6=90°，
∴∠5+∠6=45°
即∠PBG=45°．
∴∠8=45°．
∴∠FHG=45°故③正確；
當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AG=GD=x，CP=y，則GM=x，PM=y，PD=2x-y，
在Rt△PGD中由勾股定理，得
（x+y）²=x²+（2x-y）²，
∴y=$\frac{2}{3}$x，
即CP=$\frac{2}{3}$x
∴PD=2x-$\frac{2}{3}$x=$\frac{4}{3}$x，
∴DP=2CP故④正確．
∴正確的有：①②③④，
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評 此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及垂直平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)的而運(yùn)用、圓的切線的判定方法的運(yùn)用、勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用等知識，在解答中運(yùn)用作輔助線制造全等三角形是關(guān)鍵．