Question

5．如圖，直線y=2x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，D是射線AB上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），DN⊥x軸于N，把△AND沿直線AB翻折，得到△AMD，延長MA交y軸于點(diǎn)C，過A、C、D三點(diǎn)的圓E與x軸交于點(diǎn)F，連結(jié)DF．
（1）直接寫出tan∠BAO的值為2；
（2）求證：MC=NF；
（3）求線段OC的長；
（4）是否存在點(diǎn)D，使DF∥AC？若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義即刻得到結(jié)論；
（2）連接DC，則∠MCD=∠NFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即刻得到結(jié)論；
（3）作CG⊥y軸于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AGC=∠DAF，等量代換得到∠AGC=∠GAC，求得GC=AC，設(shè)GC=a，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC=2a，求得OC=2a-3，根據(jù)勾股定理即刻得到結(jié)論；
（4）設(shè)D（m，2m+3）當(dāng)DF∥AC時(shí)，∠DFA=∠FAC，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到DN=2m+3，求得NF=$\frac{3}{4}$（2m+3），列方程即刻得到結(jié)論．

解答 解：（1）在y=2x+3中，令y=0，得x=-$\frac{3}{2}$，令x=0，得y=3，
∴A（-$\frac{3}{2}$，0），B（0，3），
∴OA=$\frac{3}{2}$，OB=3，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=2；
故答案為：2；
（2）連接DC，則∠MCD=∠NFD，
在△MCD與△DNF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MCD=∠NFD}\\{∠DMC=∠DNF}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△MCD≌△NFD，
∴MC=NF；
（3）作CG⊥y軸于G，
∵CG∥x軸，
∴∠AGC=∠DAF，
∵∠GAC=∠MAD=∠DAF，
∴∠AGC=∠GAC，
∴GC=AC，
設(shè)GC=a，
∵tan∠BAO=tan∠BGC=2，
∴BC=2a，
∴OC=2a-3，
∵AO²+OC²=AC²，
∴1.5²+（2a-3）²=a²，
解得：a=$\frac{5}{2}$，a=$\frac{3}{2}$（舍去），
∴線段OC的長是2；
（4）存在，理由：設(shè)D（m，2m+3）
當(dāng)DF∥AC時(shí)，∠DFA=∠FAC，
由（3）知，tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}=\frac{4}{3}$，
∴tan∠DFA=$\frac{4}{3}$，
∵DN=2m+3，
∴NF=$\frac{3}{4}$（2m+3），
∵M(jìn)A=AN=$\frac{3}{2}$+m，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴NF=MC=AC+AM=$\frac{3}{2}$+m+$\frac{5}{2}$=4+m=$\frac{3}{4}$（2m+3），
解得：m=$\frac{7}{2}$，
∴存在點(diǎn)D（$\frac{7}{2}$，10）．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．