Question

14．閱讀下列文字：
我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．
請(qǐng)解答下列問題：

（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=42，求a²+b²+c²的值；
（3）圖3中給出了若干個(gè)邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個(gè)邊長分別為a、b的長方形紙片，請(qǐng)利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形，使得用兩種不同的方法計(jì)算它的面積時(shí)，能夠得到數(shù)學(xué)公式：2a²+7ab+3b²=（a+3b）（2a+b）．

Answer 1

分析 （1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可；
（2）將a+b+c=12，ab+bc+ac=42代入（1）中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)分解結(jié)果畫出圖形即可．

解答 解：（1）正方形的面積可表示為=（a+b+c）²；
正方形的面積=各個(gè)矩形的面積之和=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca；

（2）∵a+b+c=12，ab+bc+ac=42，
∴由（1）可知：a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）=12²-42×2=60；

（3）如圖所示：
2a²+7ab+3b²=（a+3b）（2a+b）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、因式分解的應(yīng)用，利用面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．