Question

15．在平面直角坐標系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A′，O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．
（Ⅰ）如圖①，若α=90°，求AA′的長；
（Ⅱ）如圖②，若α=120°，求點O′的坐標；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上 的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P′，當O′P+BP′取得最小值時，求點P′的坐標（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

分析 （1）如圖①，先利用勾股定理計算出AB=5，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA′，∠ABA′=90°，則可判定△ABA′為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA′的長；
（2）作O′H⊥y軸于H，如圖②，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，則∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出BH和O′H的長，然后利用坐標的表示方法寫出O′點的坐標；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP′，則O′P+BP′=O′P+BP，作B點關(guān)于x軸的對稱點C，連結(jié)O′C交x軸于P點，如圖②，易得O′P+BP=O′C，利用兩點之間線段最短可判斷此時O′P+BP的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線O′C的解析式為y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x-3，從而得到P（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，0），則O′P′=OP=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，作P′D⊥O′H于D，然后確定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出P′D和DO′的長，從而可得到P′點的坐標．

解答 解：（1）如圖①，
∵點A（4，0），點B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′BO′，
∴BA=BA′，∠ABA′=90°，
∴△ABA′為等腰直角三角形，
∴AA′=$\sqrt{2}$BA=5$\sqrt{2}$；
（2）作O′H⊥y軸于H，如圖②，
∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，
∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，
∴∠HBO′=60°，
在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°-∠HBO′=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BO′=$\frac{3}{2}$，O′H=$\sqrt{3}$BH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OH=OB+BH=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴O′點的坐標為（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$）；
（3）∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點P的對應(yīng)點為P′，
∴BP=BP′，
∴O′P+BP′=O′P+BP，
作B點關(guān)于x軸的對稱點C，連結(jié)O′C交x軸于P點，如圖②，
則O′P+BP=O′P+PC=O′C，此時O′P+BP的值最小，
∵點C與點B關(guān)于x軸對稱，
∴C（0，-3），
設(shè)直線O′C的解析式為y=kx+b，
把O′（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}}{2}k+b=\frac{9}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線O′C的解析式為y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x-3，
當y=0時，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x-3=0，解得x=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，則P（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，0），
∴OP=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴O′P′=OP=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
作P′D⊥O′H于D，
∵∠BO′A′=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，
∴∠DP′O′=30°，
∴O′D=$\frac{1}{2}$O′P′=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$，P′D=$\sqrt{3}$O′D=$\frac{9}{10}$，
∴DH=O′H-O′D=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
∴P′點的坐標為（$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，$\frac{27}{5}$）．

點評 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；理解坐標與圖形性質(zhì)；會利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．