Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAC=45°，BF⊥AC交AD，求證：CF=EF．

Answer 1

分析 根據(jù)垂直定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABF=∠BAF=45°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出BF=AF，求出∠CBF=∠EAF，∠BFC=∠AFE=90°，根據(jù)AAS推出△EAF≌△CBF即可．

解答 證明：∵BF⊥AC，
∴∠BFA=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=∠BAF=45°，
∴BF=AF，
∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠BDF=∠BFA=90°，
∴∠FAE+∠AEF=90°，∠CBF+∠BED=90°，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠CBF=∠EAF，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC=∠AFE=90°，
在△EAF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠BFC}\\{∠EAF=∠CBF}\\{AF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△CBF（AAS），
∴EF=CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，垂直定義的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△EAF≌△CBF，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．