Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線CM．
（1）求證：∠ACM=∠ABC；
（2）延長BC到D，使CD=BC，連接AD與CM交于點E，若⊙O的半徑為2，ED=1，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切線得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出結(jié)論，
（2）連接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圓的直徑是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC．

解答 （1）證明：連接OC．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BAC=90°．
∵CM是⊙O的切線，
∴OC⊥CM．
∴∠ACM+∠ACO=90°．
∵CO=AO，
∴∠BAC=∠ACO．
∴∠ACM=∠ABC．
（2）解：∵BC=CD，OB=OA，
∴OC∥AD．
又∵OC⊥CE，
∴CE⊥AD，
∵∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACD．
∴△ADC∽△ACE．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$．
∵⊙O的半徑為2，
∴AD=4．
∴$\frac{4}{AC}=\frac{AC}{3}$．
∴AC=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角的關(guān)系．