Question

14．設(shè)拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACB=90°．
（1）求拋物線的解析式
（2）已知拋物線上有一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-3），連接BD，拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使過點(diǎn)A的直線AE∥BD，如果存在請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo)，如不存在說明理由．
（3）若P為拋物線上BC兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P做y軸的平行線，交BC于H，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PH的值最大？求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．
（4）點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MQ∥BC，交AC于Q點(diǎn)，連接MC，當(dāng)△MCQ面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用△AOC∽△ACB，可求得OB，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由待定系數(shù)法可先求得直線BD解析式，由AE∥BD，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線AE解析式，聯(lián)立直線AE和拋物線解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出H點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PH的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），則可表示出AM，由MQ∥BC可得對(duì)應(yīng)線段成比例，可用t分別表示出AQ和MQ，則可表示出△ACM和△AMQ的面積，利用三角形的面積的和差可表示出△MCQ的面積，再利用二次函數(shù)可求得其最大值時(shí)的t的值，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=ax²+bx-2中，令x=0可得y=-2，
∵C（0，-2），且A（-1，0），
∴OA=1，OC=2，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∵∠ACB=90°=∠AOC，且∠A為公共角，
∴△AOC∽△ACB，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{AB}$，
∴AB=5，
∴OB=4，
∴B（4，0），
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）設(shè)直線BD解析式為y=kx+m，
把B、D坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{k+m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BD為y=x-4，
∵AE∥BD，如圖1，

∴可設(shè)直線AE解析式為y=x+n，
把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=-1+n，解得n=1，
∴直線AE解析式為y=x+1，
聯(lián)立直線AE和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（6，7）；
（3）設(shè)直線BC解析式為y=k′x+m′，
把B、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k′+m′=0}\\{m′=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=\frac{1}{2}}\\{m′=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∵P為拋物線上BC兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖1，

∴可設(shè)點(diǎn)P為（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2），
∵PH∥y軸，
∴點(diǎn)H坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∵點(diǎn)P在直線BC下方，
∴PH=$\frac{1}{2}$x-2-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，PH有最大值，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）；
（4）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），如圖3，

則AM=t-（-1）=t+1，
在Rt△OBC中，可求得BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵M(jìn)Q∥BC，
∴$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{MQ}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{AQ}{\sqrt{5}}$=$\frac{MQ}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1+t}{5}$，
∴AQ=$\frac{1+t}{\sqrt{5}}$，MQ=$\frac{2（1+t）}{\sqrt{5}}$，
∴CQ=AC-AQ=$\sqrt{5}$-$\frac{1+t}{\sqrt{5}}$=$\frac{4-t}{\sqrt{5}}$，
∵∠ACB=90°，
∴∠CQM=90°，
∴S_△MCQ=$\frac{1}{2}$MQ•CQ=$\frac{1}{2}$（$\frac{2（1+t）}{\sqrt{5}}$）（$\frac{4-t}{\sqrt{5}}$）=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{3}{5}$t+$\frac{4}{5}$=-$\frac{1}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△MCQ有最大值，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0），
即當(dāng)S_△MCQ有最大值時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例、二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中求得OB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得直線AE的解析式是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示出PH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（4）中用M點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示出MQ和QC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度很大．