Question

15．如圖，二次函數(shù)y=-x²+4x與一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象相交于點(diǎn)A．
（1）請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得到△POA，求△POA的面積．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）直接聯(lián)立兩函數(shù)解析式，再求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用已知求出CP的長(zhǎng)，再利用A點(diǎn)坐標(biāo)得出△POA的面積．

解答 解：（1）y=-x²+4x
=-（x²-4x+4-4）
=-（x-2）²+4，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4）；

（2）∵二次函數(shù)y=-x²+4x與一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象相交于點(diǎn)A，
∴-x²+4x=$\frac{1}{2}$x，
則x²-$\frac{7}{2}$x=0，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{7}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{7}{2}$，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$=$\frac{7}{4}$，
故A（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{4}$）；

（3）如圖所示：過點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B，連接PA，OP，PB交AO于點(diǎn)C，
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴BC=1，
則PC=4-1=3，A到y(tǒng)軸距離為：$\frac{7}{2}$，
故△POA的面積為：S_△OCP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{7}{2}$=$\frac{21}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積求法，正確分割三角形是解題關(guān)鍵．