Question

6．如圖，△ABC中，AB=AC．
（1）尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E．
（2）在（1）的條件下，若sinB=$\frac{3}{5}$，CD=13，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本尺規(guī)作圖作出符合條件的直線即可；
（2）過A作AF⊥BC于F，連接DA，設(shè)BE=x，根據(jù)正弦和余弦的定義用x表示出AF、AD、DF，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）如圖1所示：

（2）過A作AF⊥BC于F，連接DA，

∵DE是AB的垂直平分線，
∴DA=DB，
∵在Rt△BED中，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴cosB=$\frac{4}{5}$，
設(shè)BE=x，BD=$\frac{5}{4}$x，
則AE=BE=x，AD=BD=$\frac{5}{4}$x，
∵AB=2x，cosB=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{6}{5}$x，BF=$\frac{8}{5}$x，
∴DF=CD-CF=13-$\frac{8}{5}$x，
在△ADF中，AD²=DF²+AF²，
即（$\frac{5}{4}$x）²=（13-$\frac{8}{5}$x）²+（$\frac{6}{5}$x）²，
解得，x₁=10.4，x₂=6.67，
△ABC的周長=AB+AC+BC=4x+$\frac{5}{4}$x+13，
當(dāng)x=10.4時，△ABC的周長=67.6，
當(dāng)x=6.67時，△ABC的周長=48.02．
答：△ABC的周長為48.02或67.6．

點評 本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是本題的關(guān)鍵．