Question

4．如圖，已知直線l₁∥l₂，且l₃和l₁，l₂分別交于A、B兩點(diǎn)，l₄與l₁，l₂分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上，且在l₄的右側(cè)．
（1）如圖，試猜想：∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系；
（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？（只說結(jié)論，不要求證明）
（3）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系．
（點(diǎn)P和A、B不重合），并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形作出猜想即可；
（2）作PE∥AC，如圖1，由于l₁∥l₂，則PE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，所以∠1+∠2=∠3；
（3）分當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)與當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)兩種情況進(jìn)行分類討論即可．

解答 解：（1）猜想：∠CPD=∠1+∠2；

（2）∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系不發(fā)生變化
仍是：∠CPD=∠1+∠2；
作PE∥AC，如圖1，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥BD，
∴∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，
∴∠1+∠2=∠3，即∠CPD=∠1+∠2；

（3）當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)時(shí)，如圖a，過P作PF∥l₁，交l₄于F，
∴∠1=∠FPC．
∵l₁∥l₄，
∴PF∥l₂，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1．
當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)時(shí)，如圖b，過P作PG∥l₂，交l₄于G，
∴∠2=∠GPD
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₁，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．