Question

14．（1）如圖1，在△ABC中，BP，CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的角平分線，試探究∠BPC與∠A的關(guān)系．
（2）如圖2，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分線，試探究∠E與∠A的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（2）根據(jù)CE為∠ABC的角平分線，BE為△ABC外角∠ABD的平分線，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），兩式聯(lián)立可得2∠BEC=∠A．

解答 （1）∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
證明：∵BP、CP為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），
由三角形內(nèi)角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-$\frac{1}{2}$[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+180°），
=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（2）2∠BEC=∠A．
證明：如圖，

∵CE為∠ACB的角平分線，BE為△ABC外角∠ABD的平分線，兩角平分線交于點(diǎn)E，
∴∠1=∠2，∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ACF中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△BEF中，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），
即2∠E=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠E=∠A，即2∠BEC=∠A．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，涉及到三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和180°是解決問題的關(guān)鍵．